Nonlinear reduced basis approximation of parameterized evolution equations via the method of freezing

We present a new method for the nonlinear approximation of the solution manifolds of parameterized nonlinear evolution problems, in particular in hyperbolic regimes with moving discontinuities. Given the action of a Lie group on the solution space, the original problem is reformulated as a partial differential algebraic equation system by decomposing the solution into a group component and a spatial shape component, imposing appropriate algebraic constraints on the decomposition. The system is then projected onto a reduced basis space. We show that efficient online evaluation of the scheme is possible and study a numerical example showing its strongly improved performance in comparison to a scheme without freezing.

RésuméOn présente une nouvelle méthode dʼapproximation non linéaire des variétés de solutions de problèmes dʼévolution non linéaires paramétrées, en particulier dans les régimes hyperboliques. Pour une action de groupe de Lie donnée sur lʼespace des solutions, le problème initial est reformulé comme une équation aux derivées partielles algébriques, en décomposant la solution en une partie sur le groupe et une partie sous forme spatiale. On impose ensuite des contraintes algébriques sur la décomposition. Dans la suite, on projette le système sur un espace de base réduite. On démontre que la méthode peut être évaluée « en ligne » de manière efficace, et on traite un exemple numérique montrant une perfomance améliorée si on la compare à la même méthode sans figeage.