The projective plane, J-holomorphic curves and Desarguesʼ theorem

By a theorem of Gromov, for an almost complex structure J   on CP2CP2 tamed by the standard symplectic structure, the J-holomorphic curves representing the positive generator of homology form a projective plane. We show that this satisfies the Theorem of Desargues if and only if J is isomorphic to the standard complex structure. This answers a question of Ghys.

RésuméDʼaprès un théorème dû à Gromov, pour toute structure presque complexe J   sur CP2CP2 qui est compatible avec la structure symplectique standard, les courbes J  -holomorphes dans la classe du générateur positif de H2(CP2)H2(CP2) correspondent à la collection des droites dʼun plan projectif. Nous démontrons que ce plan projectif est arguésien si et seulement si J est isomorphe à la structure complexe standard, répondant ainsi à une question posée par Ghys.