Rudin's submodules of H2(D2)H2(D2)

Let {αn}n≥0{αn}n≥0 be a sequence of scalars in the open unit disc of CC, and let {ln}n≥0{ln}n≥0 be a sequence of natural numbers satisfying ∑n=0∞(1−ln|αn|)<∞. Then the joint (Mz1,Mz2)(Mz1,Mz2) invariant subspaceSΦ=⋁n=0∞(z1n∏k=n∞(−α¯k|αk|z2−αk1−α¯kz2)lkH2(D2)), is called a Rudin submodule. In this paper, we analyze the class of Rudin submodules and prove thatdim(SΦ⊖(z1SΦ+z2SΦ))=1+#{n≥0:αn=0}<∞. In particular, this answers a question earlier raised by Douglas and Yang (2000) [4].

RésuméSoit {αn}n≥0{αn}n≥0 une suite de scalaires du disque unité ouvert de CC, et soit {ln}n≥0{ln}n≥0 une suite de nombres naturels vérifiant ∑n=0∞(1−ln|αn|)<∞. Alors le sous-espace invariant (Mz1,Mz2)(Mz1,Mz2)SΦ=⋁n=0∞(z1n∏k=n∞(−αk¯|αk|z2−αk1−α¯kz2)lkH2(D2)), est appelé sous-module de Rudin. Dans cette Note, on analyse la classe des sous-modules de Rudin et on démontre quedim(SΦ⊖(z1SΦ+z2SΦ))=1+#{n≥0:αn=0}<∞. En particulier, ce résultat répond à une question posée précédemment par Douglas et Yang (2000) [4].