Expression of Dirichlet boundary conditions in terms of the Cauchy–Green tensor field

In a previous work, it was shown how the Cauchy–Green tensor field C:=∇ΦT∇Φ∈W2,s(Ω;S>3), s>3/2s>3/2, can be considered as the sole unknown in the homogeneous Dirichlet problem of nonlinear elasticity posed over a domain Ω⊂R3Ω⊂R3, instead of the deformation Φ∈W3,s(Ω;R3)Φ∈W3,s(Ω;R3) in the usual approach. The purpose of this Note is to show that the same approach applies as well to the Dirichlet–Neumann problem. To this end, we show how the boundary condition Φ=Φ0Φ=Φ0 on a portion Γ0Γ0 of the boundary of Ω   can be recast, again as boundary conditions on Γ0Γ0, but this time expressed only in terms of the new unknown C∈W2,s(Ω;S>3).

RésuméDans un travail antérieur, on a montré comment le champ C:=∇ΦT∇Φ∈W2,s(Ω;S>3), s>3/2s>3/2, des tenseurs de Cauchy–Green peut être considéré comme la seule inconnue dans le problème de Dirichlet homogène pour lʼélasticité non linéaire posé sur un domaine Ω⊂R3Ω⊂R3, au lieu de la déformation Φ∈W3,s(Ω;R3)Φ∈W3,s(Ω;R3) dans lʼapproche habituelle. Lʼobjet de cette Note est de montrer que la même approche sʼapplique aussi bien au problème de Dirichlet–Neumann. À cette fin, nous montrons comment la condition aux limites Φ=Φ0Φ=Φ0 sur une portion Γ0Γ0 de la frontière de Ω   peut être ré-écrite, à nouveau sous forme de conditions aux limites sur Γ0Γ0, mais exprimées cette fois uniquement en fonction de la nouvelle inconnue C∈W2,s(Ω;S>3).