The GBC mass for asymptotically hyperbolic manifolds

By using the Gauss–Bonnet curvature, we introduce a higher-order mass, the Gauss–Bonnet–Chern mass, for asymptotically hyperbolic manifolds and show that it is a geometric invariant. Moreover, we prove a positive mass theorem for this new mass for asymptotically hyperbolic graphs. Then, we prove the weighted Alexandrov–Fenchel inequalities in the hyperbolic space HnHn for any horospherical convex hypersurface Σ. As an application, we obtain an optimal Penrose-type inequality for this new mass for asymptotically hyperbolic graphs with a horizon type boundary Σ  , provided that a dominant energy condition L˜k⩾0 holds.

RésuméEn utilisant la courbure de Gauss–Bonnet, on introduit une nouvelle masse dʼordre supérieur – la masse de Gauss–Bonnet–Chern –, sur des variétés asymptotiquement hyperboliques. On montre quʼil sʼagit dʼun invariant géométrique. On démontre également le théorème de masse positive sur des graphes sur lʼespace hyperbolique HnHn et des inégalités dʼAlexandrov–Fenchel à poids dans HnHn pour toute hypersurface convexe de type horosphérique. Ainsi, on obtient une inégalité de type Penrose optimale pour cette masse sur toute variété asymptotiquement hyperbolique qui est graphe sur HnHn avec un horizon au bord, à condition que la condition dʼénergie dominante L˜k⩾0 soit satisfaite.