On the cohomology of semi-stable p-adic Galois representations

Let K be a field of characteristic 0 complete with respect to a non-trivial discrete valuation with perfect residue field k   of characteristic p>0p>0. Let V be a p-adic representation of the absolute Galois group of K  . We compute explicitly Kato's filtration on the continuous cohomology group H1(K,V)H1(K,V). When k   is finite, we give a simple proof of Hyodo's celebrated result Hg1(K,V)=Hst1(K,V) when V is a potentially semi-stable Galois representation.

RésuméSoit K un corps de caractéristique 0 complet pour une valuation discrète non triviale à corps résiduel parfait k   de caractéristique p>0p>0. Soit V une représentation p-adique du groupe de Galois absolu de K  . On calcule explicitement la filtration de Kato sur le groupe de cohomologie continue H1(K,V)H1(K,V). Lorsque k est fini, on en déduit une preuve simple du résultat bien connu de Hyodo qui dit que, si V   est potentiellement semi-stable, alors Hg1(K,V)=Hst1(K,V).