Non-existence of local solutions of semilinear heat equations of Osgood type in bounded domains

We establish a local non-existence result for the equation ut−Δu=f(u)ut−Δu=f(u) with Dirichlet boundary conditions on a smooth bounded domain Ω⊂RnΩ⊂Rn and initial data in Lq(Ω)Lq(Ω) when the source term f   is non-decreasing and limsups→∞s−γf(s)=∞ for some exponent γ>q(1+2/n)γ>q(1+2/n). This allows us to construct a locally Lipschitz f   satisfying the Osgood condition ∫1∞1/f(s)ds=∞, which ensures global existence for initial data in L∞(Ω)L∞(Ω), such that for every q   with 1≤q<∞1≤q<∞ there is a non-negative initial condition u0∈Lq(Ω)u0∈Lq(Ω) for which the corresponding semilinear problem has no local-in-time solution (‘immediate blow-up’).

RésuméNous établissons un résultat de non-existence locale pour l'équation ut−Δu=f(u)ut−Δu=f(u) avec des conditions aux limites de Dirichlet sur un domaine borné lisse Ω⊂RnΩ⊂Rn et des données initiales dans Lq(Ω)Lq(Ω) lorsque le terme de source f   est non décroissant et limsups→∞s−γf(s)=∞ pour un exposant γ>q(1+2/n)γ>q(1+2/n). Ceci nous permet de construire un f   localement Lipschitz qui satisfait la condition de Osgood ∫1∞1/f(s)ds=∞, ce qui garantit l'existence globale pour des données initiales dans L∞(Ω)L∞(Ω), de telle sorte que pour chaque q   tel que 1≤q<∞1≤q<∞ il existe une condition initiale non négative u0∈Lq(Ω)u0∈Lq(Ω) pour laquelle le problème semi-linéaire correspondant n'admet pas de solution locale en temps ( « blow-up immédiat »).