Singular quasilinear elliptic equations and Hölder regularity

We prove the Hölder regularity (Theorem 2.1) for weak solutions to singular quasilinear elliptic equations whose prototype isequation(P){−Δpu=K(x)uδ+g(x)in Ω;u|∂Ω=0,u>0in Ω, where Ω   is an open bounded domain with smooth boundary, 10δ>0, K∈Lloc∞(Ω) satisfies 0⩽K(x)⩽const⋅dist(x,∂Ω)−ω for a.e. x∈Ωx∈Ω, 0<ω<1+(1−δ)(1−1p), and 0⩽g∈L∞(Ω)0⩽g∈L∞(Ω). Theorem 2.1 together with the Schauder fixed point theorem can be used to obtain the existence of weak solutions to the singular quasilinear elliptic system (PS) described in the Introduction.

RésuméNous démontrons la régularité höldérienne (Théorème 2.1) des solutions faibles des équations quasi-linéaires elliptiques singulières de la forme suivante :equation(P){−Δpu=K(x)uδ+g(x)in Ω;u|∂Ω=0,u>0in Ω, où Ω   est un ouvert borné régulier, 10δ>0, K∈Lloc∞(Ω) satisfait 0⩽K(x)⩽const⋅dist(x,∂Ω)−ω pour p.p. x∈Ωx∈Ω, 0<ω<1+(1−δ)(1−1p) et 0⩽g∈L∞(Ω)0⩽g∈L∞(Ω). Théorème 2.1 combiné avec le théorème du point fixe de Schauder permet de démontrer lʼexistence de solutions faibles de systèmes elliptiques quasi-linéaires singuliers de la forme (PS) (voir Introduction).