On the binary relation ⩽u on self-adjoint Hilbert space operators

Given self-adjoint operators A,B∈B(H) it is said A⩽uB whenever A⩽U⁎BU for some unitary operator U. We show that A⩽uB if and only if f(g(A)r)⩽uf(g(B)r) for any increasing operator convex function f, any operator monotone function g and any positive number r. We present some sufficient conditions under which if B⩽A⩽U⁎BU, then B=A=U⁎BU. Finally we prove that if An⩽U⁎AnU for all n∈N, then A=U⁎AU.

RésuméSoient A,B∈B(H) des opérateurs auto-adjoints donnés, on dit que A⩽uB si A⩽U⁎BU, où U est un opérateur unitaire. On montre que A⩽uB si et seulement si f(g(A)r)⩽uf(g(B)r) pour toute fonction dʼopérateurs f, convexe et croissante, toute fonction dʼopérateurs g, monotone et tout nombre r positif. On donne des conditions nécessaires et suffisantes pour que B⩽A⩽U⁎BU implique B=A=U⁎BU. Enfin on montre que si An⩽U⁎AnU pour tout n∈N alors A=U⁎AU.