Random attractors for stochastic porous media equations perturbed by space–time linear multiplicative noise

Unique existence of solutions to porous media equations driven by continuous linear multiplicative space–time rough signals is proven for initial data in L1(O). The generation of a continuous, order-preserving random dynamical system (RDS) on L1(O) and the existence of a “small” random attractor for stochastic porous media equations perturbed by linear multiplicative noise in space and time is obtained. Uniform L∞ bounds and uniform space–time continuity of solutions is shown. General noise including fractional Brownian Motion for all Hurst parameters is contained. A pathwise Wong–Zakai result for driving noise given by a continuous semimartingale is obtained.

RésuméLʼexistence et lʼunicité des solutions des équations aux milieux poreux pilotés par des « rough paths », continus, linéaire multiplicatifs et distribués dans lʼespace et le temps sont démontrées pour des conditions initiales dans L1(O). On obtient la génération dʼun système dynamique aléatoire continu et monotone dans L1(O) ainsi que lʼexistence dʼun « petit » attracteur aléatoire pour des équations aux milieux poreux stochastiques perturbés par un bruit linéaire multiplicatif, distribué dans lʼespace et le temps. Des bornes uniformes dans L∞(O) et la continuité uniforme des solutions dans lʼespace et le temps sont démontrées. Le cas dʼun bruit généralisé, y compris le mouvement Brownien fractionnaire pour tous les paramétres de Hurst est contenu. Un résultat trajectoire du type Wong–Zakai pour un bruit mené par une semimartingale continue est obtenu.