Compensated fractional derivatives and stochastic evolution equations

We are interested in developing a pathwise theory for mild solutions of stochastic evolution equations when the noise path is β-Hölder continuous for β∈(1/3,1/2). From the point of view of the Rough Path Theory, stochastic integrals related to the solution of ordinary differential equations contain area-elements from a tensor space. Based on (compensated) fractional derivatives we are able to derive a second mild equation for these area components. We formulate sufficient conditions for the existence and uniqueness of a pathwise mild solution by using the Banach fixed point theorem provided that the coefficients of the system are sufficiently regular.

RésuméDans cette Note, nous sommes intéressés à développer une théorie trajectorielle pour les solutions ‘mild’ dʼéquations dʼévolution stochastiques lorsque le bruit est β-Hölder continue pour β∈(1/3,1/2). Selon la théorie ‘Rough Path’, les intégrales stochastiques liés à la solution des équations différentielles ordinaires contiennent des éléments dʼun espace de tenseurs. Grâce aux dérivées fractionnaires (compensées), on peut formuler une deuxième équation pour ce tenseur, pour lequel nous construisons un autre tenseur en fonction non seulement sur le bruit, mais aussi sur le semi-groupe. Nous formulons des conditions suffisantes pour lʼexistence et lʼunicité dʼune solution trajectorielle en utilisant le théoréme du point fixe de Banach lorsque des coefficients du système sont assez régulières.