Global existence and boundedness of classical solutions for a chemotaxis model with logistic source

We consider the chemotaxis system:{ut=Δu−∇⋅(uχ(v)∇v)+f(u),x∈Ω,t>0,vt=Δv−v+ug(u),x∈Ω,t>0, under homogeneous Neumann boundary conditions in a bounded domain Ω⊂RnΩ⊂Rn, n⩾1n⩾1, with smooth boundary and function f is assumed to generalize the logistic source:f(u)=au−bu2,u⩾0, with a>0,b>0. Moreover, χ(s)χ(s) and g(s)g(s) are nonnegative smooth functions and satisfy:χ(s)⩽ϱ(1+ϑs)k,s⩾0, with some ϱ>0,ϑ>0 and k>1,g(s)⩽h0(1+hs)δ,s⩾0,withh0>0,h⩾0,δ⩾0. We prove that for all positive values of ϱ, a and b, classical solutions to the above system are uniformly-in-time bounded. This result extends a recent result by C. Mu, L. Wang, P. Zheng and Q. Zhang (2013) [13], which asserts the global existence and boundedness of classical solutions on condition that 0⩽a<2b0⩽a<2b and ϱ be sufficiently small.

RésuméOn considère le système de la chimiotaxie :{ut=Δu−∇⋅(uχ(v)∇v)+f(u),x∈Ω,t>0,vt=Δv−v−ug(u),x∈Ω,t>0, avec conditions de Neumann homogènes dans un domaine borné Ω⊂RnΩ⊂Rn, n≥1n≥1, de frontière régulière ; on suppose que f est une généralisation dʼune source logistique :f(u)=au−bu2,u≥0, avec a>0,b>0. De plus, χ(s)χ(s) et g(s)g(s) sont des fonctions positives ou nulles régulières vérifiant :χ(s)≤ϱ(1+ϑs)k,s≥0, avec ϱ>0,ϑ>0,k>1,g(s)≤h0(1+hs)δ,s≥0, avec h0>0,h≥0,δ≥0. On démontre que, pour toute valeur positive de ϱ, a et b, les solutions classiques du système ci-dessus sont uniformément bornées en temps. Ce résultat étend un résultat récent de C. Mu, L. Wang, P. Zheng et Q. Zhang (2013) [13], qui établit lʼexistence globale et des bornes des solutions classiques sous les conditions 0≤a<2b0≤a<2b et ϱ assez petit.