Remarques à propos de l'opérateur de Dirac cubique

RésuméEn 1999, Kostant introduit un opérateur de Dirac cubique Dg/h associé à tout triplet (g,h,B), où g est une algèbre de Lie complexe munie de la forme bilinéaire symétrique -invariante non dégénérée B, et h est une sous-algèbre de Lie de g sur laquelle B est non dégénérée. Kostant montre alors que le carré de Dg/h vérifie une formule qui généralise la formule de Parthasarathy (1972). Nous donnons ici une nouvelle démonstration de cette formule. Tout d'abord, au moyen d'une induction par étage, nous montrons qu'il suffit d'établir la formule dans le cas particulier où h=0. Il apparaît alors que, dans ce cas, l'annulation du terme d'ordre 1 dans la formule de Kostant pour est une conséquence de propriétés classiques en cohomologie des algèbres de Lie, tandis que le fait que le carré du terme cubique soit scalaire résulte de telles considérations, ainsi que de l'identité de Jacobi.

In 1999, Kostant introduces a Dirac operator Dg/h associated to any triple (g,h,B), where g is a complex Lie algebra provided with an -invariant nondegenerate symmetric bilinear form B, and h is a Lie subalgebra of g such that the bilinear form B is nondegenerate on h. Kostant then shows that the square of this operator satisfies a formula that generalizes the so-called Parthasarathy formula (1972). We give here a new proof of this formula. First we use an induction by stage argument to reduce the proof of the formula to the particular case where h=0. In this case we show that the vanishing of the first order term in the Kostant formula for is a consequence of classic properties related to Lie algebra cohomology, and the fact that the square of the cubic term is a scalar follows from such considerations, together with the Jacobi identity.