Weighted Paley–Wiener theorem on the Hilbert transform

We prove weighted analogues of the Paley–Wiener theorem on integrability of the Hilbert transform of an integrable odd function which is monotone on R+. This extends Hardy–Littlewood's and Flett's results to the case p=1 under the assumption of (general) monotonicity for an even/odd function.

RésuméNous prouvons des analogues avec poids du théorème de Paley–Wiener, à savoir l'intégrabilité de la transformée de Hilbert d'une fonction intégrable impaire décroissante sur R+. Nos résultats étendent au cas p=1 ceux de Hardy–Littlewood et de Flett concernant l'intégrabilité avec poids de la transformée de Hilbert d'une fonction paire ou impaire sous la même condition de décroissance sur R+ ou sous la condition moins restrictive de « monotonie généralisée ».