A Beurling type theorem in weighted Bergman spaces

For the vector-valued Hardy space H2(U)H2(U) and the standard weighted Bergman space An(Y)An(Y) with coefficient Hilbert spaces UU and YY, we single out a class of contractive multipliers from H2(U)H2(U) to An(Y)An(Y) which we call partially isometric multipliers  . We then show that a closed subspace M⊂An(Y)M⊂An(Y) is invariant under the shift operator Sn:f(z)↦zf(z)Sn:f(z)↦zf(z) if and only if M=Φ⋅H2(U)M=Φ⋅H2(U) for some partially isometric multiplier Φ   from H2(U)H2(U) to An(Y)An(Y).

RésuméSoit H2(U)H2(U) lʼespace de Hardy aux valeurs vectorielles et soit An(Y)An(Y) lʼespace de Bergman aux valeurs vectorielles et au poids (1−|z|2)n−2(1−|z|2)n−2, où les espaces des coefficients UU et YY sont des espaces de Hilbert. Nous considérons une classe de multiplicateurs contractifs de H2(U)H2(U) dans An(Y)An(Y), que nous appelons multiplicateurs isométriques partiels  . Nous montrons quʼun sous-espace M⊂An(Y)M⊂An(Y) qui est invariant pour lʼoperateur Sn:f(z)↦zf(z)Sn:f(z)↦zf(z) est inclus isometriquement dans An(Y)An(Y) si et seulement si M=Φ⋅H2(U)M=Φ⋅H2(U) pour un multiplicateur isométrique partiel Φ   de H2(U)H2(U) dans An(Y)An(Y).