The Thue–Morse–Pascal double sequence and similar structures

If a recurrent two-dimensional sequence with initial conditions defined by linear substitution and a two-dimensional sequence that is generated by planar substitution are identical over a sufficiently large initial square, then they will coincide over all. After proving this general principle, we apply it to some concrete examples. One of them, the Thue–Morse–Pascal two-dimensional sequence, is defined by two copies of the Prouhet–Thue–Morse sequence as pair of initial conditions and by the Pascal Triangle Addition modulo 2 as rule of recurrence. As it follows, the Thue–Morse–Pascal two-dimensional sequence is the result of 15 substitution rules, each of them consisting of the substitution of some 4×4 matrix with an 8×8 matrix.

RésuméSi une suite bidimensionnelle récurrente avec conditions initiales définies par substitution linéaire et une suite bidimensionnelle engendrée par substitution plane sont identiques sur un carré initial assez grand, alors elles coïncident partout. Après avoir démontré ce principe on lʼapplique à quelques exemples concrets. Lʼun dʼentre-eux est la suite bidimensionnelle de Thue–Morse–Pascal définie par deux exemplaires de la suite de Prouhet–Thue–Morse comme couple de conditions initiales et lʼaddition du triangle de Pascal modulo 2 comme règle de récurrence. Il sʼensuit que la suite bidimensionnelle de Thue–Morse–Pascal est le résultat de 15 règles de substitution, chacune dʼentre-elles consistant de la substitution dʼune certaine matrice 4×4 avec une matrice 8×8.