Hypertranscendance de fonctions de Mahler du premier ordre

RésuméSoit K un corps équipé dʼun endomorphisme σ. Dans cette Note, nous utilisons la théorie de Galois aux différences pour donner un critère dʼindépendance algébrique pour les solutions de σ-équations du premier ordre. Ce résultat nous permet de caractériser les solutions hyperalgébriques de ces σ-équations lorsque K est muni dʼune dérivation Δ telle que Δ∘σ=pσ∘Δ, où p est une (σ,Δ)-constante qui nʼest pas une racine de lʼunité. Nous en déduisons, dans le cas de lʼopérateur de Mahler, une preuve galoisienne dʼun théorème dʼhypertranscendance de Ke. Nishioka.

Let K be a field equipped with an endomorphism σ. In this Note, we use difference Galois theory to give an algebraic independence criterion for solutions of first order σ-equations. This result allows us to characterize the hyperalgebraic solutions of such σ-equations when K is endowed with a derivation Δ such that Δ∘σ=pσ∘Δ, where p is a (σ,Δ)-constant which is not a root of unity. We deduce from this theorem, in the setting of the Mahler operator, a galoisian proof of a hypertranscendency theorem of Ke. Nishioka.