Estimation du coût quadratique quand certaines composantes du paramètre de position sont positives

RésuméOn considère le problème dʼestimation du coût quadratique ‖δ−θ‖2 dʼun estimateur δ de la moyenne θ=(θ1,…,θp) dʼune loi à symétrie sphérique lorsque lʼon sait que certaines composantes θi de celle-ci sont positives ou nulles. En premier lieu, lorsque X est un vecteur gaussien, on sʼintéresse à lʼamélioration de lʼestimateur sans biais λ0 de ‖δ−θ‖2 par des estimateurs de la forme λ0(X)+h(X) en fournissant des conditions sur la fonction h. On étend ensuite cette problématique à un modèle distributionnel où lʼon dispose dʼun vecteur résiduel U : la loi de (X,U) est supposée à symétrie sphérique autour du couple (θ,0) et lʼon considère des estimateurs de coût de la forme λ0(X)+‖U‖4h(X).

We consider the problem of estimating the quadratic loss ‖δ−θ‖2 of point estimators δ of a location parameter θ=(θ1,…,θp) for family of symmetric distributions with known scale parameter, when a subset of the components of θ are restricted to be nonnegative and when a residual vector U is available. In the normal case, we give a class of estimators λ0(X)+h(X) which dominate, under the usual quadratic loss, the unbiased estimator λ0 of ‖δ−θ‖2. In the general case when the vector (X,U) has a spherically symmetric distribution around (θ,0), we give a class of estimators of the form λ0(X)+‖U‖4h(X).