BV functions in a Gelfand triple and the stochastic reflection problem on a convex set of a Hilbert space

In this Note we introduce BV functions in a Gelfand triple, which is an extension of BV functions in Ambrosio et al., preprint [1], by using Dirichlet form theory. By this definition, we can consider the stochastic reflection problem associated with a self-adjoint operator A and a cylindrical Wiener process on a convex set Γ. We prove the existence and uniqueness of a strong solution of this problem when Γ is a regular convex set. The result is also extended to the non-symmetric case. Finally, we extend our results to the case when Γ=Kα, where Kα={f∈L2(0,1)|f⩾−α}, α⩾0.

RésuméDans cette Note, on introduit des fonctions BV dans un triplet de Gelfand qui est une extension de fonctions BV dans Ambrosio et al., preprint [1] en utilizant la forme de Dirichlet. Par cette définition, on peut considérer le problème de réflexion stochastique associé à un opérateur auto-adjoint A et un processus de Wiener cylindrique sur un ensemble convexe Γ. Nous démontrons l'existence et l'unicité d'une solution forte de ce problème si Γ et un ensemble convexe régulier. Le résultat est aussi étendu au cas non symétrique. Finalement, nous utilisons les fonctions BV dans le cas Γ=Kα, où Kα={f∈L2(0,1)|f⩾−α}, α⩾0.