On the cardinality of stable star operations of finite type on an integral domain

Let D be an integral domain and SFs(D) be the set of stable star operations of finite type on D. In this note, we show that if Ω is the set of nonzero prime ideals P of D with Pt=D, then |Ω|+1⩽|SFs(D)|⩽2|Ω|. We also show that if |Ω|<∞, then |SFs(D)|=|Ω|+1 if and only if Ω is linearly ordered under inclusion; and |SFs(D)|=2|Ω| if and only if each pair of elements in Ω are incomparable.

RésuméSoit D un anneau intègre et SFs(D) lʼensemble des opérations étoile, stables, de type fini sur D. Nous montrons dans cette note que, si Ω désigne lʼensemble des idéaux premiers non nuls P de D tels que Pt=D, alors |Ω|+1⩽|SFs(D)|⩽2|Ω|. Nous montrons également que, si |Ω|<∞, alors |SFs(D)|=|Ω|+1 si et seulement si Ω est totalement ordonné par lʼinclusion et |SFs(D)|=2|Ω| si et seulement si les éléments de Ω sont deux à deux incomparables.