Nonlinear Saint-Venant compatibility conditions for nonlinearly elastic plates

Let ω be a simply-connected planar domain. We give necessary and sufficient nonlinear compatibility conditions of Saint-Venant type guaranteeing that, given two 2×2 symmetric matrix fields (Eαβ) and (Fαβ) with components in L2(ω), there exists a vector field with components η1,η2∈H1(ω) and η3∈H2(ω) such that and ∂αβη3=Fαβ in ω for α,β=1,2, the left-hand sides of these equations arising naturally in nonlinearly elastic plate theory. Such a vector field η=(ηi) being uniquely defined if it belongs to a particular closed subspace V0(ω) of H1(ω)×H1(ω)×H2(ω), we study the continuity properties of the nonlinear mapping (E,F)∈(L24(ω))×(L24(ω))→η∈V0(ω) defined in this fashion.

RésuméSoit ω un domaine plan simplement connexe. On donne des conditions non linéaires de compatibilité du type de Saint-Venant, nécessaires et suffisantes pour que, étant donné deux champs (Eαβ) et (Fαβ) de matrices symétriques dont les éléments sont dans L2(ω), il existe un champ de vecteurs avec des composantes η1,η2∈H1(ω) et η3∈H2(ω) tel que et ∂αβη3=Fαβ dans ω pour α,β=1,2, les membres de gauche de ces équations apparaissant naturellement dans la théorie des plaques non linéairement élastiques. Un tel champ de vecteurs η=(ηi) étant défini de façon unique sʼil appartient à un sous-espace fermé V0(ω) particulier de H1(ω)×H1(ω)×H2(ω), on étudie les propriétés de continuité de lʼapplication non linéaire (E,F)∈(L24(ω))×(L24(ω))→η∈V0(ω) définie de cette façon.