Some conditions implying normality of operators

Let T∈B(H) and T=U|T| be its polar decomposition. We prove that (i) if T is log-hyponormal or p-hyponormal and Un=U⁎ for some n, then T is normal; (ii) if the spectrum of U is contained in some open semicircle, then T is normal if and only if so is its Aluthge transform .

RésuméSoit T∈B(H) et T=U|T| sa décomposition polaire. Nous montrons que : (i) si T est log-hyponormal ou p-hyponormal et Un=U⁎ pour un certain n, alors T est normal ; (ii) si le spectre de U est contenu dans un arc de cercle, alors T est normal si et seulement sʼil en est de même de son transformé de Aluthge .