Infinitely many solutions for a class of nonlinear eigenvalue problem in Orlicz–Sobolev spaces

We study the Neumann problem −div(α(|∇u|)∇u)+α(|u|)u=λf(x,u) in Ω, ∂u/∂ν=0 on ∂Ω, where Ω is a smooth bounded domain in RN, λ is a positive parameter, f is a continuous function, and α is a real-valued mapping defined on (0,∞). The main result in this Note establishes that for all λ in a prescribed open interval, this problem has infinitely many solutions that converge to zero in the Orlicz–Sobolev space W1LΦ(Ω).

RésuméOn étudie le problème de Neumann −div(α(|∇u|)∇u)+α(|u|)u=λf(x,u) dans Ω, ∂u/∂ν=0 sur ∂Ω, où Ω est un domaine borné régulier de RN, λ est un paramètre positif, f est une fonction continue et α est une application définie sur (0,∞). Le résultat principal de cette Note montre que pour tout λ dans un certain intervalle ouvert, ce problème admet une infinité de solutions qui convergent vers zéro dans lʼespace dʼOrlicz–Sobolev W1LΦ(Ω).