A class of Poisson structures compatible with the canonical Poisson structure on the cotangent bundle

Let M be a smooth manifold endowed with a Poisson tensor σ and a Riemannian metric g and let J=σ#∘#−1 be the (1,1) tensor field relating σ to g. It is well known that the complete lift of J defines a bivector field ΠJ on T⁎M which is a Poisson tensor compatible with canonical Poisson structure on T⁎M if J is torsionless. We consider the Lie algebroid structure on T⁎M associated to σ. It defines by duality a Poisson tensor Πσ on TM. Denote by the Poisson tensor on T⁎M pull-back of Πσ by the musical isomorphism associated to g. We show that the following three assertions are equivalent: (a) is compatible with the canonical Poisson structure on T⁎M, (b) , (c) σ is parallel with respect to the Levi-Civita connection of g.We give also a large class of examples illustrating this situation.

RésuméSoit M une variété différentiable munie dʼun tenseur de Poisson σ et dʼune métrique riemannienne g et soit J=σ#∘#−1 le tenseur de type (1,1) reliant σ à g. Il est connu que J se relève à T⁎M et définit un champ de bivecteur ΠJ qui est de Poisson et compatible avec la structure de Poisson canonique de T⁎M si la torsion de J est nulle. On considère la structure dʼalgébroide de Lie sur T⁎M associée à σ. Elle définit par dualité un tenseur de Poisson Πσ sur TM. Notons le tenseur de Poisson sur T⁎M image de Πσ par lʼisomorphisme musical associé à g. Nous montrons que les trois assertions suivantes sont équivalentes : (a) est compatible avec la structure de Poisson canonique sur T⁎M, (b) , (c) σ est parallèle par rapport à la connexion de Levi-Civita de g.Nous donnerons une large classe dʼexemples illustrant cette situation.