Tail behavior of laws stable by random weighted mean

Let (N,A1,A2,…) be a sequence of random variables with N∈N∪{∞} and Ai∈R+. We are interested in asymptotic properties of solutions of the distributional equation , where Zi are nonnegative random variables independent of each other and independent of (N,A1,A2,…), each has the same distribution as Z which is unknown. For a solution Z⩾0 with finite mean, we show that under a natural moment condition, the regular variation of P(Z>x) (x→∞) is equivalent to that of P(Y1>x), where . The results generalize the corresponding theorems of Bingham and Doney (1974, 1975) [1,2] and de Meyer (1982) [6], on Galton–Watson processes and Crump–Mode–Jirina processes, and improve those of Iksanov and Polotskiy (2006) [7] on branching random walks.

RésuméSoit (N,A1,A2,…) une suite de variables aléatoires avec N∈N∪{∞} et Ai∈R+. Nous nous sommes intéressés aux propriétés asymptotiques des solutions de lʼéquation en distribution , où Zi sont des variables aléatoires non-négatives, mutuellement indépendantes et indépendantes de (N,A1,A2,…), chacune a la même loi que Z qui est inconnue. Pour une solution Z⩾0 de moyenne finie, nous montrons que sous une condition de moment naturelle, la variation régulière de la probabilité de queue P(Z>x) (x→∞) est équivalente à celle de P(Y1>x), où . Les résultats généralisent les théorèmes correspondants de Bingham et Doney (1974, 1975) [1,2] et de Meyer (1982) [6], sur les processus de Galton–Watson et de Crump–Mode–Jirina, et améliorent ceux dʼIksanov et Polotskiy (2006) [7] sur les marches aléatoires branchantes.