p-Adic Hodge theory for open varieties

This is an announcement of results whose proofs will be published elsewhere: We establish forms of the Cst conjecture of Fontaine–Jannsen for proper semistable pairs over a complete discrete valuation ring R of mixed characteristic (0,p) with perfect residue field, and partially properly supported cohomology. We derive the conjecture Cpst for separated K-schemes of finite type, where K is the fraction field of R. The proof is based on the method of syntomic complexes and p-adic vanishing cycles. A new ingredient is the use of hollow log schemes à la Ogus to provide tubular neighborhoods of intersections of components of divisors with normal crossings.

RésuméCette Note annonce des résultats dont les démonstrations seront publiées ailleurs. Ils concernent des formes de la conjecture Cst de Fontaine–Jannsen pour les paires semistables propres sur un anneau de valuation discrète complet R de caractéristique mixte (0,p) à corps résiduel parfait et des groupes de cohomologie partiellement à support propre. On en déduit la conjecture Cpst pour les K-schémas séparés de type fini, où K est le corps des fractions de R. La méthode de démonstration est celle des complexes syntomiques et des cycles évanescents p-adiques. Un nouvel ingrédient est lʼutilisation de log schémas creux à la Ogus, qui fournissent des voisinages tubulaires dʼintersections de composantes de diviseurs à croisements normaux.