Un théorème sur les actions de groupes de dimension infinie

RésuméL'objet de cette Note est de donner, dans un cadre analytique, un critère infinitésimal pour qu'un espace vectoriel soit localement homogène sous l'action d'un groupe. Dans le cas C∞, un tel résultat a été démontré par Sergeraert dans sa thèse, en utilisant un théorème d'inversion locale dans les espaces de Fréchet (Sergeraert (1972) [4, Théorème 4.2.5 et Corollaire 4.2.6], ) (voir également Moser (1966) [3], , Zehnder (1976) [5]).Notre approche diffère de celle de Sergeraert par l'usage direct de la structure de groupe sous-jacente. En suivant la méthode itérative utilisée par Kolmogorov et Arnold dans leur démonstration du théorème des tores invariants (Kolmogorov (1954) [2], , Arnold (1963) [1], ), elle fournit une réponse à l'heuristique donnée par Zehnder (1976) [5, Chap. 5].

In this Note, we give an infinitesimal criterion, in an analytic setting, for a vector space to be locally homogeneous under some group action. In the C∞ case, such a result was obtained by Sergeraert in his thesis, using an inverse function theorem in Fréchet spaces (Sergeraert (1972) [4, Theorem 4.2.5 and Corollary 4.2.6], ) (see also Moser (1966) [3], , Zehnder (1976) [5]).Our approach differs from that of Sergeraert because we directly use the underlying group structure. By following the iterative method used by Kolmogorov and Arnold in the proof of the invariant tori theorem (Kolmogorov (1954) [2], , Arnold (1963) [1], ), it provides an answer to the heuristic question asked by Zehnder (1976) [5, Chap. 5].