Universal Taylor series for non-simply connected domains

It is known that, for any simply connected proper subdomain Ω of the complex plane and any point ζ in Ω, there are holomorphic functions on Ω that have “universal” Taylor series expansions about ζ; that is, partial sums of the Taylor series approximate arbitrary polynomials on arbitrary compacta in C\Ω that have connected complement. This note shows that this phenomenon can break down for non-simply connected domains Ω, even when C\Ω is compact. This answers a question of Melas and disproves a conjecture of Müller, Vlachou and Yavrian.

RésuméIl est connu que, pour un sous-domaine propre simplement connexe Ω du plan complexe et un point quelconque ζ de Ω, il y a des fonctions holomorphes sur Ω qui possèdent des séries de Taylor « universelles » autour de ζ ; c'est-à-dire tout polynôme peut être approximé, sur tout compact de C\Ω ayant un complémentaire connexe, par les sommes partielles de la série de Taylor. Cette note montre que ce résultat n'est plus vrai en général pour les domaines non-simplement connexes Ω, même lorsque C\Ω est compact. Cela répond à une question de Melas et réfute une conjecture de Müller, Vlachou et Yavrian.