Lipschitz functions of perturbed operators

We prove that if f is a Lipschitz function on R, and A and B are self-adjoint operators such that rank(A−B)=1, then f(A)−f(B) belongs to the weak space S1,∞, i.e., sj(A−B)⩽const(1+j)−1. We deduce from this result that if A−B belongs to the trace class S1 and f is Lipschitz, then f(A)−f(B)∈SΩ, i.e., . We also obtain more general results about the behavior of double operator integrals of the form , where E1 and E2 are spectral measures. We show that if T∈S1, then Q∈SΩ and if rankT=1, then Q∈S1,∞. Finally, if T belongs to the Matsaev ideal Sω, then Q is a compact operator. To cite this article: F. Nazarov, V. Peller, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).

RésuméNous démontrons que si f est une fonction lipschitzienne, A et B des opérateurs autoadjoints tels que rank(A−B)=1, alors f(A)−f(B)∈S1,∞, c'est-à-dire sj(A−B)⩽const(1+j)−1. Si A−B est dans la classe S1 des opérateurs à trace, nous montrons que f(A)−f(B)∈SΩ, c'est-à-dire . Plus généralement, pour une fonction lipschitzienne f et pour des mesures spectrales E1 et E2, considérons l'intégrale double opératorielle . Nous montrons que si T∈S1, alors Q∈SΩ et si rankT=1, alors Q∈S1,∞. Finalement, si T appartient à l'idéal de Matsaev Sω, alors Q est un opérateur compact. Pour citer cet article : F. Nazarov, V. Peller, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).