Remarks on bounded solutions of steady Hamilton–Jacobi equations

We study here the equation . More precisely we investigate under which hypotheses the constant functions are the only bounded solutions. In arbitrary space dimension we prove that this happens when convexity and coercivity occur. In one space dimension we show that the above property holds true for Hamiltonians in a larger class. These results apply when studying the long time behaviour of solutions for time-dependent Hamilton–Jacobi equations. To cite this article: M. Bostan, G. Namah, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).

RésuméDans cette Note on s'intéresse à l'équation et plus précisément à la question suivante : dans quels cas les fonctions constantes sont-elles les seules solutions bornées de cette équation ? On démontre que tel est le cas sous des hypothèses de convexité et coercivité en dimension N quelconque. La preuve fait appel à la formule de Hopf–Lax. En une dimension d'espace on propose un résultat pour des hamiltoniens seulement faiblement coercifs moyennant une condition supplémentaire. Dans la dernière partie on utilise ces résultats pour identifier les limites asymptotiques en temps long des solutions des problèmes de Cauchy. Pour citer cet article : M. Bostan, G. Namah, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).