Geometry of Sobolev spaces with variable exponent: smoothness and uniform convexity

Let Ω⊂RN, N⩾2, be a smooth bounded domain. It is shown that: (a) if p∈L∞(Ω) and essinfx∈Ωp(x)>1, then the generalized Lebesgue space is smooth; (b) if and p(x)>1, for all , then the generalized Sobolev space is smooth. In both situations, the formulae giving the Gâteaux derivative of the norm, corresponding to each of the above spaces, are given; (c) if and p(x)⩾2, for all , then is uniformly convex and smooth. To cite this article: G. Dinca, P. Matei, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).

RésuméSoit Ω⊂RN, N⩾2, un domain borné et régulier. On demontre que : (a) si p∈L∞(Ω) et essinfx∈Ωp(x)>1, alors l'espace de Lebesgue généralisé est lisse ; (b) si et p(x)>1, pour tout , alors l'espace de Sobolev généralisé est lisse. Dans les deux cas, les formules de la dérivée au sens de Gâteaux de chaque norme des espaces ci-dessus sont données ; (c) si et p(x)⩾2, pour tout , alors est uniformément convexe et lisse. Pour citer cet article : G. Dinca, P. Matei, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).