Generalized Fourier transforms Fk,a

We construct a two-parameter family of actions ωk,a of the Lie algebra sl(2,R) by differential-difference operators on RN. Here, k is a multiplicity-function for the Dunkl operators, and a>0 arises from the interpolation of the Weil representation and the minimal unitary representation of the conformal group. The action ωk,a lifts to a unitary representation of the universal covering of SL(2,R), and can even be extended to a holomorphic semigroup Ωk,a. Our semigroup generalizes the Hermite semigroup studied by R. Howe (k≡0, a=2) and the Laguerre semigroup by T. Kobayashi and G. Mano (k≡0, a=1). The boundary value of our semigroup Ωk,a provides us with (k,a)-generalized Fourier transforms Fk,a, which includes the Dunkl transform Dk (a=2) and a new unitary operator Hk (a=1) as a Dunkl-type generalization of the classical Hankel transform. To cite this article: S. Ben Saïd et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).

RésuméÀ l'aide des opérateurs différentiels et aux différences de Dunkl sur RN, on construit une famille d'actions ωk,a de l'algèbre de Lie sl(2,R) dépendant de deux paramètres k et a. Ici k est une fonction de multiplicité associée aux opérateurs de Dunkl, et a>0 un paramètre d'interpolation entre la représentation de Weil et la représentation minimale du groupe conforme. On montre que ωk,a s'intègre à une représentation unitaire du revêtement universel du groupe SL(2,R), et se prolonge à un semi-groupe holomorphe Ωk,a. Notre semi-groupe généralise le semi-groupe de Hermite, étudié par R. Howe (k≡0, a=2), ainsi que le semi-groupe de Laguerre dû à T. Kobayashi et G. Mano (k≡0, a=1). La valeur au bord de notre semi-groupe Ωk,a donne une transformation de Fourier (k,a)-généralisée Fk,a qui correspond à la transformation de Dunkl pour a=2, et à une nouvelle transformation Hk pour a=1 qui généralise la transformation de Hankel classique. Pour citer cet article : S. Ben Saïd et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).