Tangent unit-vector fields: Nonabelian homotopy invariants and the Dirichlet energy

Let O be a closed geodesic polygon in S2. Maps from O into S2 are said to satisfy tangent boundary conditions if the edges of O are mapped into the geodesics which contain them. Taking O to be an octant of S2, we evaluate the infimum Dirichlet energy, E(H), for continuous tangent maps of arbitrary homotopy type H. The expression for E(H) involves a topological invariant – the spelling length – associated with the (nonabelian) fundamental group of the n-times punctured two-sphere, π1(S2−{s1,…,sn},∗). These results have applications for the theoretical modelling of nematic liquid crystal devices. To cite this article: A. Majumdar et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).

RésuméSoit O un polygone géodésique fermé de S2. On dit qu'une application de O dans S2 vérifie des conditions aux limites tangentes si elle associe à chaque côté de O la géodésique qui le contient. Dans le cas où O est un octant de S2, on calcule l'infimum d'énergie de Dirichlet, E(H), pour des applications tangentes continues d'un type d'homotopie quelconque H. L'expression de E(H) utilise un invariant topologique, la longueur nominale, lié au groupe fondamentel (non abélien) de la sphère S2 à n trous ponctuels, π1(S2−{s1,…,sn},∗). Les réeultats obtenus ont des applications pratiques, notamment dans la modélisation des systèmes contenant de cristaux liquides nématiques. Pour citer cet article : A. Majumdar et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).