On the vector bundles over rationally connected varieties

Let X be a rationally connected smooth projective variety defined over C and E→X a vector bundle such that for every morphism , the pullback γ∗E is trivial. We prove that E is trivial. Using this we show that if γ∗E is isomorphic to L(γ)⊕r for all γ of the above type, where L(γ)→CP1 is some line bundle, then there is a line bundle ζ over X such that E=ζ⊕r. To cite this article: I. Biswas, J.P.P. dos Santos, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).

RésuméSoit X une variété rationnellement connexe sur C et soit E→X un fibré vectoriel tel que, pour tout morphisme , le fibré γ∗E est trivial. Nous montrons que E est trivial. Nous en déduisons que si, pour tout γ comme avant, γ∗E est isomorphe à L(γ)⊕r, où L(γ)→CP1 est un fibré en droites, alors il existe un fibré en droites ζ sur X et un isomorphisme E≅ζ⊕r. Pour citer cet article : I. Biswas, J.P.P. dos Santos, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).