On fields of algebraic numbers with bounded local degrees

It is well known that if a field is contained in the compositum of all extensions of Q of degree at most d, then it has uniformly bounded local degrees. One may ask whether the converse holds. The answer is easily seen to be affirmative if the extension K/Q is abelian, but we provide a counterexample to the general assertion. This is built up from a certain family of pq-groups.

RésuméIl est bien connu que si un corps est contenu dans le compositum de toutes les extensions de Q de degré inférieur à d, alors il est à degrés locaux uniformément bornés. On se demande si la réciproque est vraie. On prouve facilement que c'est le cas si l'extension K est abélienne, mais cela n'est pas vrai dans le cas général, comme le montre un contre-exemple construit à partir d'une certaine famille de pq-groupes.