Asymptotic inversion of Toeplitz matrices with one singularity in the symbol

We consider the function fα defined by fα(θ)=|1−eiθ|2αf1(eiθ) with f1 a regular strictly positive function and α a real number with . For such a number α we compute the inverse TN(fα)−1 of the Toeplitz matrix TN(fα) and we obtain the asymptotic behaviour of the entries of this matrix when N goes to infinity. This inversion allows us to obtain two new families of kernels, Hα for , and Gα for α>0. We obtain also an asymptotic expansion of the coefficients of the orthogonal polynomials associated to the function fα and we give an answer to a question of H. Kesten (1961). To cite this article: P. Rambour, A. Seghier, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).

RésuméConsidérons la fonction fα(θ)=|1−eiθ|2αf1(eiθ) où f1 est une fonction régulière strictement positive et α un nombre réel tel que . Pour un tel α nous calculons l'inverse TN(fα)−1 de la matrice de Toeplitz TN(fα) et nous obtenons le comportement asymptotique des coefficients de cet inverse quand N tend vers l'infini. Ceci nous permet de mettre en évidence deux nouvelles familles de noyaux Hα pour , et Gα pour α>0. Nous obtenons également un développement asymptotique des coefficients des polynômes orthogonaux associés au poids fα. Pour nous répondons à une question énoncée par H. Kesten (1961). Pour citer cet article : P. Rambour, A. Seghier, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).