A generalization of the classical Cesàro–Volterra path integral formula

If a symmetric matrix field e of order three satisfies the Saint Venant compatibility conditions in a simply-connected domain Ω in R3, there then exists a displacement field u of Ω such that in Ω. If the field e is sufficiently smooth, the displacement u(x) at any point x∈Ω can be explicitly computed as a function of e and by means of a Cesàro–Volterra path integral formula inside Ω with endpoint x.We assume here that the components of the field e are only in L2(Ω), in which case the classical path integral formula of Cesàro and Volterra becomes meaningless. We then establish the existence of a “Cesàro–Volterra formula with little regularity”, which again provides an explicit solution u to the equation in this case. To cite this article: P.G. Ciarlet et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).

RésuméSi un champ e de matrices symétriques d'ordre trois vérifie les conditions de compatibilité de Saint Venant dans un domaine simplement connexe Ω de R3, alors il existe un champ u de déplacements de Ω tel que dans Ω. Si le champ e est suffisamment régulier, le déplacement u(x) peut être calculé explicitement en tout point x∈Ω comme une fonction de e et de , au moyen d'une intégrale curviligne de Cesàro–Volterra le long d'un chemin contenu dans Ω et d'extrémité x.On suppose ici que les composantes du champ e sont seulement dans L2(Ω), auquel cas la formule intégrale de Cesàro–Volterra n'a pas de sens. On établit alors l'existence d'une « formule de Cesàro–Volterra avec peu de régularité », qui donne à nouveau dans ce cas une solution explicite u de l'équation . Pour citer cet article : P.G. Ciarlet et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (2009).