A property of the spectra of non-Pisot numbers

Let θ be a real number satisfying 1<θ<2, m a positive rational integer and Bm(θ) the set of polynomials with coefficients in {0,±1,…,±m}, evaluated at θ. We prove that Bm(θ) is everywhere dense when , where is the derivative set of Bm(θ). We also show that if , , then Bm(θ) is discrete.

RésuméSoient θ un nombre réel satisfaisant 1<θ<2, m un entier rationnel positif et Bm(θ) l'ensemble des réels P(θ) pour P décrivant les polynômes à coefficients dans {0,±1,…,±m}. On montre que Bm(θ) est partout dense lorsque 0 est un élément de l'ensemble dérivé de Bm(θ). On prouve également que si , , alors Bm(θ) est discret.