Almost sure convergence of some random series

Let (cn)n⩾1 be a square-summable sequence of complex numbers, d⩾2 an integer, and (en,d)n⩾1 the orthonormal basis of the space consisting of the radial eigenfunctions of the Laplace operator acting on the space L2(Dd) of square-summable functions on the unit ball of Rd. We generalize a result of Ayache and Tzvetkov and compute in the general case the critical exponent of the sequence (cn)n⩾1, i.e. the infimum of the p's, p⩾2, such that the random series ∑εn(ω)cnen,d converges almost surely in , where (εn) denotes a sequence of independent random choices of signs on a probability space (Ω,F,P).

RésuméSoit (cn)n⩾1 une suite de nombres complexes de carré sommable, d⩾2 un entier, et (en,d)n⩾1 la base orthonormée de l'espace formée par les fonctions propres radiales de l'opérateur de Laplace agissant sur l'espace L2(Dd) des fonctions de carré intégrable sur la boule unité de Rd. Nous généralisons un résultat d'Ayache et Tzvetkov en calculant dans le cas général l'exposant critique de la suite (cn)n⩾1, c'est-à-dire l'infimum des p⩾2 tels que la série aléatoire ∑εn(ω)cnen,d converge presque sûrement dans , où (εn) désigne une suite de choix de signes indépendants sur un espace de probabilité (Ω,F,P).