Invasion fronts with variable motility: Phenotype selection, spatial sorting and wave acceleration

Invasion fronts in ecology are well studied but very few mathematical results concern the case with variable motility (possibly due to mutations). Based on an apparently simple reaction–diffusion equation, we explain the observed phenomena of front acceleration (when the motility is unbounded) as well as other qualitative results, such as the existence of traveling waves and the selection of the most motile individuals (when the motility is bounded). The key argument for constructing and analysing the traveling waves is the derivation of a dispersion relation linking the wave speed and the spatial decay. When the motility is unbounded we show that the position of the front scales as t3/2. When the mutation rate is low we show that the canonical equation for the dynamics of the fittest trait should be stated as a PDE in our context. It turns out to be a type of Burgers equation with a source term.

RésuméLes fronts dʼinvasion en écologie ont été largement étudiés. Cependant peu de résultats mathématiques existent pour le cas dʼun coefficient de motilité variable (à cause des mutations). A partir dʼun modèle minimal de réaction–diffusion, nous expliquons le phénomène observé dʼaccélération du front (lorsque la motilité nʼest pas bornée), et nous démontrons lʼexistence dʼondes progressives ainsi que la sélection des individus les plus motiles (lorsque la motilité est bornée). Le point clé pour la construction des fronts est la relation de dispersion qui relie la vitesse de lʼonde avec la décroissance en espace. Lorsque la motilité nʼest pas bornée nous montrons que la position du front suit une loi dʼéchelle en t3/2. Lorsque le taux de mutation est faible, nous montrons que, dans notre contexte, lʼéquation canonique pour la dynamique du meilleur trait est une EDP. Cʼest une équation de type Burgers avec terme source.