Sur la transformation d'Abel–Radon des courants localement résiduels en codimension supérieure

RésuméSoit X⊂PN une sous-variété projective de dimension n de l'espace projectif complexe PN. On se donne un ouvert connexe U dans la grassmanienne T=G(p,N) des p-plans de PN, et U∗:=⋃t∈UHt⊂PN l'ouvert correspondant. La transformation d'Abel–Radon R associe à un courant α de bidegré (q+r,r) -fermé sur V∗=U∗∩X une q-forme holomorphe sur U, où r+N−n=p. Après avoir rappelé la définition des courants localement résiduels, on montre le théorème suivant (montré dans [Fabre B., Sur la transformation d'Abel–Radon des courants localement résiduels, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (5) IV (1) (2005) 27–57 ; version abrégée : C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 338 (2004) 787–792] pour p=1 et X=PN), qui généralise le théorème d'Abel inverse montré par P. Griffiths (1976) :Soit α un courant localement résiduel de bidegré (q+r,r) sur V∗. Si R(α)=0, et q>0, alors α s'étend sur X, de manière unique, en un courant localement résiduel -fermé de même bidegré. Pour citer cet article : B. Fabre, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007).

Let X⊂PN be a projective submanifold of dimension n in the complex projective space PN. Let U be a domain in the Grassmannian T:=G(p,N) of p-planes in PN, and U∗:=⋃t∈UHt⊂PN be the union of the corresponding p-planes. The Abel–Radon transform associates to a -closed current α of bidegree (q+r,r) on V∗:=U∗∩X an holomorphic q-form R(α) on U, where r+N−n=p. After recalling the definition of locally residual currents, we show the following theorem (shown in [Fabre B., Sur la transformation d'Abel–Radon des courants localement résiduels, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (5) IV (1) (2005) 27–57; version abrégée: C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 338 (2004) 787–792] for p=1 and X=PN), which generalizes the inverse Abel's theorem shown by P. Griffiths (1976):Let α be a locally residual current of bidegree (q+r,r) on V∗. If R(α)=0, and q>0, then α extends to X in a unique way as a -closed locally residual current of the same bidegree. To cite this article: B. Fabre, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007).