A counterexample to a conjecture by De Giorgi in large dimensions

We consider the Allen–Cahn equationΔu+u(1−u2)=0in RN. A celebrated conjecture by E. De Giorgi (1978) states that if u   is a bounded solution to this problem such that ∂xNu>0∂xNu>0, then the level sets {u=λ}{u=λ}, λ∈Rλ∈R, must be hyperplanes at least   if N⩽8N⩽8. We construct a family of solutions which shows that this statement does not hold true for N⩾9N⩾9. To cite this article: M. del Pino et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).

RésuméNous considérons l'équation d'Allen–Cahn :Δu+u(1−u2)=0dans RN. Une conjecture célèbre de E. De Giorgi (1978) affirme que si u   est une solution bornée de ce problème telle que ∂xNu>0∂xNu>0, alors les ensembles de niveau {u=λ}{u=λ}, λ∈Rλ∈R, sont des hyperplans au moins   si N⩽8N⩽8. Nous contruisons une famille de solutions qui montre que cette conjecture n'est pas vraie pour N⩾9N⩾9. Pour citer cet article : M. del Pino et al., C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).