Chain conditions in special pullbacks

Let D⊆E denote an extension of commutative rings with identity, I be a nonzero proper ideal of D, Γ mean a nonzero torsion-free additive grading monoid with Γ∩−Γ={0} and Γ⁎=Γ∖{0}. Let E[Γ] be the semigroup ring of Γ over E, D+E[Γ⁎]={f∈E[Γ]|f(0)∈D} and D+I[Γ⁎]={f∈D[Γ]| the coefficients of nonconstant terms of f belong to I}. In this paper, we give some conditions for the rings (resp., domains) D+E[Γ⁎] and D+I[Γ⁎] to be Noetherian (resp., to satisfy the ascending chain condition on principal ideals).

RésuméSoient D⊆E une extension dʼanneaux commutatifs unitaires, I un idéal non nul et propre de D et Γ un monoïde commutatif simplifiable sans torsion non trivial tel que Γ∩−Γ={0} et Γ⁎=Γ∖{0}. Soient E[Γ] lʼanneau semi-groupe de Γ sur E, D+E[Γ⁎]={f∈E[Γ]|f(0)∈D} et D+I[Γ⁎]={f∈D[Γ]| les coefficients des termes non-constants de f appartiennent à I}. Dans cet article, nous donnons certaines conditions pour que les anneaux (resp., domaines) D+E[Γ⁎] et D+I[Γ⁎] soient Noethériens (resp., satisfassent la condition de chaîne ascendante sur les idéaux principaux).