The shape of the (2+1)d SOS surface above a wall

We give a full description for the shape of the classical (2+1)d Solid-On-Solid model above a wall, introduced by Temperley (1952) [14]. On an L×L box at a large inverse-temperature β the height of most sites concentrates on a single level for most values of L. For a sequence of diverging boxes the ensemble of level lines of heights (h,h−1,…) has a scaling limit in Hausdorff distance iff the fractional parts of converge to a noncritical value. The scaling limit is explicitly given by nested distinct loops formed via translates of Wulff shapes. Finally, the h-level lines feature L1/3+o(1) fluctuations from the side boundaries.

RésuméNous donnons une description complète de la forme typique de lʼinterface SOS (2+1)-dimensionnelle au-dessus dʼun mur, introduite par Temperley (1952) [14]. Dans une boîte L×L à basse température T=1/β, la hauteur de la plupart des sommets se concentre au niveau , pour la plupart des valeurs de L. Pour une suite croissante de boîtes, lʼensemble de lignes de niveau de hauteur (h,h−1,…) admet une limite au sense de la distance de Hausdorff ssi la partie fractionnaire de converge à une valeur non critique. La limite dʼéchelle est donnée explicitement par des boucles imbriquées, formées par des translations de formes de Wulff. Enfin, la distance entre le bord de la boîte et la ligne de niveau h a des fluctuations L1/3+o(1).