On Petermichl's dyadic shift and the Hilbert transform

Petermichl's representation for the Hilbert transform as an average of dyadic shifts has important applications. Here it is shown that the integrals involved in (a variant of) this representation converge both almost everywhere and strongly in Lp(R), p∈(1,∞), which improves on the earlier result of weak convergence in L2(R). To cite this article: T. Hytönen, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).

RésuméLa représentation, dû à Petermichl, pour la transformée d'Hilbert comme une moyenne des translations dyadiques a des applications importantes. Ici, on montre que les integrals dans (une forme de) cette représentation convergent à la fois presque partout et fortement dans Lp(R), p∈(1,∞), ce qui améliore le résultat antérieur que affirme la convergence faible dans L2(R). Pour citer cet article : T. Hytönen, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 346 (2008).