A cohomological criterion for semistable parabolic vector bundles on a curve

Let X be an irreducible smooth complex projective curve and a finite subset. Fix a positive integer N. We consider all the parabolic vector bundles over X whose parabolic points are contained in S and all the parabolic weights are integral multiples on 1/N. We construct a parabolic vector bundle V∗, of this type, satisfying the following condition: a parabolic vector bundle E∗ of this type is parabolic semistable if and only if there is a parabolic vector bundle F∗, also of this type, such that the underlying vector bundle (E∗⊗F∗⊗V∗)0 for the parabolic tensor product E∗⊗F∗⊗V∗ is cohomologically trivial, which means that Hi(X,(E∗⊗F∗⊗V∗)0)=0 for all i. Given any parabolic semistable vector bundle E∗, the existence of such F∗ is proved using a criterion of Faltings which says that a vector bundle E over X is semistable if and only if there is another vector bundle F such that E⊗F is cohomologically trivial. To cite this article: I. Biswas, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007).

RésuméSoit X une courbe complexe lisse projective irréductible et une partie finie. Fixons un entier positif N. Nous considerons les fibrés vectoriels paraboliques sur X dont les points paraboliques sont contenus dans S et les poids paraboliques sont des multiples entiers de 1/N. Nous construisons un tel fibré vectoriel parabolique V∗, vérifiant la condition suivante : un fibré vectoriel parabolique E∗ du type comme ci-dessus est semistable au sens parabolique si et seulement s'il existe un fibré vectoriel parabolique F∗, aussi de tel type, tel que le fibré vectoriel sous-jacent (E∗⊗F∗⊗V∗)0 au produit tensoriel parabolique E∗⊗F∗⊗V∗ soit cohomologiquement trivial : on a pour . L'existence d'un tel F∗ est démontrée en utilisant un critère de Faltings qui dit qu'un fibré vectoriel E sur X est semistable si et seulement s'il existe un fibré vectoriel F tel que pour . Pour citer cet article : I. Biswas, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 345 (2007).