On the regular convergence of multiple integrals of locally Lebesgue integrable functions over R¯+m

Let the function f:R¯+m→C be such that f∈Lloc1(R¯+m), where m⩾2m⩾2 is a fixed integer. We investigate the convergence behavior of the m-multiple integral∫0v1∫0v2…∫0vmf(t1,t2,…,tm)dt1dt2…dtmas min{v1,v2,…,vm}→∞, while using two notions of convergence: the one in Pringsheimʼs sense and the one in the regular sense. For the sake of brevity, we present our main result in the case m=2m=2 as follows: If f∈Lloc1(R¯+2) and the double integral (⁎) converges regularly, then the finite limits limv2→∞∫0v1(∫0v2f(t1,t2)dt2)dt1=:J1(v1) and limv1→∞∫0v2(∫0v1f(t1,t2)dt1)dt2=:J2(v2) exist uniformly in 0

RésuméSoit f:R¯+m→C telle que f∈Lloc1(R¯+m), où m est un entier fixé. On étudie la convergence de lʼintégrale multiple dʼordre m  , ∫0v1∫0v2…∫0vmf(t1,t2,…,tm)dt1dt2…dtm quand min{v1,v2,…,vm}→∞min{v1,v2,…,vm}→∞, en utilisant deux méthodes de convergence, lʼune au sens de Pringsheim, et lʼautre au sens régulier. Pour simplifier on présente notre résultat fondamental pour m=2m=2, de la façon suivante : Si f∈Lloc1(R¯+2) et si lʼintégrale double converge régulièrement, alors les limites finies limv2→∞∫0v1(∫0v2f(t1,t2)dt2)dt1=:J1(v1) et limv1→∞∫0v2(∫0v1f(t1,t2)dt1)dt2=:J2(v2) existent uniformément dans 0