Courbes algébriques ordinaires et tissus associés

RésuméSoit Γ une courbe algébrique complexe de degré d, intègre et non-dégénérée, dans lʼespace projectif complexe Pn (n⩾3,d⩾n). Notons c(n,h) la dimension de lʼespace vectoriel des polynômes homogènes de degré h en n variables, et k0 lʼentier ⩾1 tel que c(n,k0)⩽dk0. Pour k0⩾2, ces courbes sont aussi celles dont le tissu associé dans est ordinaire, au sens de Cavalier et Lehmann (2012) [1]. Leur genre arithmétique est majoré par le nombre (=k0d−c(n+1,k0)+1), et cette borne est atteinte pour celles de ces courbes ordinaires qui sont arithmétiquement de Cohen–Macaulay. Pour n=3, et tout degré d⩾3, la famille des courbes ordinaires de degré d qui sont arithmétiquement de Cohen–Macaulay est non vide et constitue une composante irréductible du schéma de Hilbert Hd,π′(3,d).Par contraste, les courbes intersections complètes de n−1 hypersurfaces algébriques ne sont jamais ordinaires si k0⩾2.

Let Γ be a complex algebraic curve of degree d, non-degenerate, reduced, and irreducible, in the complex projective space Pn (n⩾3,d⩾n). Denoting by c(n,h) the dimension of the vector space of homogeneous polynomials of degree h with respect to n variables, let k0 be the integer (⩾1) such that c(n,k0)⩽dk0. Equivalently when k0⩾2, the associated web in of such a curve is “ordinary” in the sense of Cavalier and Lehmann (2012) [1]. The arithmetic genus of an ordinary curve is upper-bounded by the number (=k0d−c(n+1,k0)+1), and this bound is reached for these ordinary curves which are arithmetically Cohen–Macaulay. For n=3 and any d⩾3, the family of the ordinary curves of degree d which are arithmetically Cohen–Macaulay is non-empty, and is an irreducible component of the Hilbert scheme Hd,π′(3,d).By contrast, the complete intersection of n−1 algebraic hypersurfaces is never ordinary if k0⩾2.