The Minkowski ?(x) function and Salemʼs problem

R. Salem (Trans. Amer. Math. Soc. 53 (3) (1943) 427–439) asked whether the Fourier–Stieltjes transform of the Minkowski question mark function ?(x) vanishes at infinity. In this Note we present several possible approaches towards the solution. For example, we show that this transform satisfies integral and discrete functional equations. Thus, we expect the affirmative answer to Salemʼs problem. At the end of this Note we show that a recent attempt to settle this question (S. Yakubovich, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 349 (11–12) (2011) 633–636) is fallacious.

RésuméR. Salem (Trans. Amer. Math. Soc. 53 (3) (1943) 427–439) demande si la transformée de Fourier–Stieltjes de la fonction point dʼinterrogation de Minkowski ?(x) sʼannule à lʼinfini. Dans cette Note nous présentons plusieurs approches afin de résoudre cette question. Nous montrons par exemple que cette transformée satisfait des équations fonctionnelles discrètes et entières. Ainsi, nous conjecturons une réponse positive au problème de Salem. À la fin de cette Note, nous montrons quʼune tentative récente pour répondre à cette question (S. Yakubovich, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 349 (11–12) (2011) 633–636) est en fait incorrecte.