A new error bound for reduced basis approximation of parabolic partial differential equations

We consider a space–time variational formulation for linear parabolic partial differential equations. We introduce an associated Petrov–Galerkin truth finite element discretization with favorable discrete inf-sup constant βδ: βδ is unity for the heat equation; βδ grows only linearly in time for non-coercive (but asymptotically stable) convection operators. The latter in turn permits effective long-time a posteriori error bounds for reduced basis approximations, in sharp contrast to classical (pessimistic) exponentially growing energy estimates.

RésuméNous considérons une formulation variationnelle espace–temps pour les équations différentielles paraboliques linéaires. Nous y associons une discrétisation par éléments finis de Petrov–Galerkin pour laquelle la constante de stabilité inf-sup βδ possède des propriétés agréables : βδ est unité pour lʼéquation de la chaleur ; βδ a une croissance seulement linéaire en temps pour des opérateurs de convection non-coercifs (mais asymptotiquement stables). Dans le cadre des approximations par bases réduites, cette dernière propriété permet dʼobtenir des bornes efficaces pour lʼerreur a posteriori en temps long, en net contraste avec les estimateurs dʼerreur en énergie classiques (pessimistes) qui présentent une croissance exponentielle.